【摘　要】　本文提出了卵形曲線中緩和曲線段上點(diǎn)位坐標(biāo)計(jì)算方案，推導(dǎo)了其計(jì)算過程及公式，并附實(shí)例。對(duì)始于高等級(jí)道路的平面卵形 曲線的測(cè)設(shè)有重要的指導(dǎo)作用。
　　高等級(jí)公路，特別是高速公路的平面線形設(shè)計(jì)形式很多，但歸根結(jié)底，它們都由直線、圓和緩和曲線 ( 我國(guó)《公路路線設(shè)計(jì)規(guī)范》中規(guī)定回旋線或稱菲涅爾螺旋線為緩和曲線線形 ) 等公路平面線形要素組合而成。各種平面線形設(shè)計(jì)形式，如基本形、卵形、 S 形、 C 形等等，對(duì) 高速公路更加適應(yīng)汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)的行車軌跡，消除曲率突變，增進(jìn)線形美觀及行車舒適感、安 全感都有極其重要的意義，但同時(shí)，也使曲線計(jì)算及野外測(cè)設(shè)更為復(fù)雜。本文針對(duì)在高速公路設(shè)計(jì)實(shí)際中出現(xiàn)的卵形曲線，推導(dǎo)了緩和曲線段點(diǎn)位坐標(biāo)計(jì)算方法及公式，為現(xiàn)場(chǎng)測(cè)設(shè)人員提供了有效的計(jì)算方案和測(cè)設(shè)指導(dǎo)。

一、回旋線的基本特征及坐標(biāo)計(jì)算
　　回旋線上，任意一點(diǎn)的曲率半徑 ρ 與該點(diǎn)至曲線起點(diǎn)的曲線長(zhǎng) l 之積為一常數(shù) ( 圖 1) 即

ρl =A2

(1)

或

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式中， A 2 為回旋曲線常數(shù)，表征回旋曲線曲率變化緩急程度的量，稱 A 為回旋曲線參數(shù)。

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　　　　圖　 1

1. 回旋曲線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算
　　 由圖 1( 曲線右旋 ) ，取回旋線的起始點(diǎn) ZH 處的切線方向?yàn)?i> x 軸，法線方向?yàn)?i> y 軸，任意一點(diǎn)的 切線方向方位角為緩和曲線角 β 。在緩和曲線上對(duì)任意一點(diǎn) P 取微分

　 dl=ρdβ
　　 dx=dlcosβ
　　 dy=dlsinβ

　　考慮式 (1) 對(duì) β 或 l 在區(qū)間 [0 ， β ］或 [0 ， l ］上積分后有下列關(guān)系式成立

l 2 ＝ 2A 2 β

(2)

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(3)

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(4)

或者

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(5)

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(6)

　　對(duì)于公路平面線形的基本形，其緩和曲線始于直線終于圓曲線，故緩和曲線的曲率半徑 ρ 變化于 ∞ ～ R ( 圓曲半徑 ) 。設(shè)緩和曲線段長(zhǎng)度為 ls , 則

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(7)

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(8)

2. 回旋線的幾何要素
　　見圖 1 ，回旋線的幾何要素計(jì)算公式如下：任意點(diǎn) P 處的曲率半徑 ( 由式 (1) 和式 (2))

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(9)

P 點(diǎn)的回旋曲線長(zhǎng)

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(10)

P 點(diǎn)的緩和曲線角 ( 切線方位角，由 (9) 式 )

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(11)

　　上面導(dǎo)出了當(dāng)參數(shù)分別為 β 和 l 時(shí)的右旋緩和曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)和幾何要素公式。顯然，緩和曲線左旋時(shí) ( 圖 2) ，與右旋相比， x 坐標(biāo)公式一致，而 y 、 β 反號(hào)。若令 sign=±1 ，緩和曲線右旋時(shí)取 sign=1 ，左旋時(shí)取 sign=-1 ，則坐標(biāo)和方位角等符號(hào)量可統(tǒng)一 表示為：

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(12)

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　　　　　圖　 2

3. 回旋曲線的基本特征
　　 1. 幾何特性�；匦�隨著曲線長(zhǎng)度的增加，曲率按線性函數(shù)增加。起點(diǎn)處 l =0 ，曲率 l /ρ ＝ 0 ，終點(diǎn)處 l =ls ，曲率 l /p ＝常數(shù)。

　　 2. 相似性�；匦�的形狀只有一種，回旋曲線參數(shù) A 即為放大系數(shù)。

二、卵形曲線形式及其緩和曲線段坐標(biāo)計(jì)算
　　按直線 - 緩和曲線 (A1)- 圓曲線 (R1)- 緩和曲線 - 圓曲線 (R2)- 緩和曲線 (A2)- 直線的順序組合構(gòu)成的平面線形形式 (R1≠R2) ，稱為卵形曲線 ( 圖 3) 。卵形曲線中，顯然圓曲線 - 緩和曲線 - 圓曲線段的緩和曲線坐標(biāo)計(jì)算是新的課 題，它成為整個(gè)卵形曲線計(jì)算的瓶頸。解決了這個(gè)問題，其他平面線形形式的曲線坐標(biāo)計(jì)算 也就迎刃而解了。

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　　　　　圖　 3

　　解決問題的關(guān)鍵在于對(duì)兩圓曲線之間的緩和曲線的正確認(rèn)識(shí)： (1) 兩不等圓曲線之間的緩和 曲線仍是回旋線； (2) 該回旋線是沒有起點(diǎn) (ρ ＝ 0) 的回旋線段。
　　于是，解決問題的方案是：第一，仍須確定哪端為回旋曲線的起點(diǎn) (ρ ＝ 0) 端；第二，假定緩和曲線起點(diǎn)而套用平面曲線基本形計(jì)算回旋曲線任意一點(diǎn)坐標(biāo)及其方位角；第三，坐標(biāo)變換為大地 ( 或施工區(qū) ) 坐標(biāo)形式，而這正是高效測(cè)設(shè)曲線的現(xiàn)代發(fā)展所需要的坐標(biāo)形式。
　　我們知道，回旋曲線起點(diǎn)處曲率半徑 ρ =∞ ，隨著離曲線起點(diǎn)的曲線長(zhǎng)度增加，曲率半徑由大變小。因此，卵形曲線兩圓之間回旋線的起點(diǎn)必在相接圓半徑較大的圓曲線那一端。由此再確定回旋線的右或左旋形式以確定獨(dú)立坐標(biāo)公式 (sign 的值 ) 的使用。根據(jù)回旋線上特征點(diǎn)的已知大地坐標(biāo)和獨(dú)立坐標(biāo)，可計(jì)算出坐標(biāo)變換參數(shù)，從而得到回旋線上任意一點(diǎn)的大地坐標(biāo)及其切向、法向方位角。
　　以圖 3 為例，因?yàn)?i> R 1 >R2 ，可見回旋線的起點(diǎn)在 R 1 圓曲線的那一端，顯然，該回旋線右旋。設(shè)回旋曲線起點(diǎn)為 O ，起點(diǎn)處切線方向?yàn)?i> x 軸，法線方向?yàn)?i> y 軸，建立獨(dú)立坐標(biāo)系。

O-YH 弧長(zhǎng)： l 1 ＝ A 2 /R1
　　 O-HY 弧長(zhǎng)： ls =l1+l0 ＝ A 2 /R2

這里， l 0 =lYH-HY 為緩和曲線段長(zhǎng)度。
　　緩和曲線上任意點(diǎn) P 至起點(diǎn) O 的弧長(zhǎng)為

l′ ＝ l 1 +l

這里， l 為 P 至圓緩點(diǎn) YH 的弧長(zhǎng)。
　　將 l 1 ,ls,l′ 分別替代 l 代入式 (7) 、式 (8) 得到圓緩點(diǎn) YH 、緩圓點(diǎn) HY 、任意點(diǎn) P 獨(dú)立坐 標(biāo)系坐標(biāo) xYH ,yYH,xHY,yHY,xP,yP( 注意，計(jì)算時(shí)式中 R ＝ R 2 ) 。
　　設(shè)獨(dú)立坐標(biāo)系 xOy 原點(diǎn) O 的大地坐標(biāo)為 (X0,Y0) ， x 軸的大地方位角為 α 0 ，由 YH 、 HY 點(diǎn)的大地坐標(biāo)和獨(dú)立坐標(biāo)可分別反算直線 YH-HY 的坐標(biāo)方位角 α 1 ,α2 ，則

α 0 =α1-α2

(13)

于是，獨(dú)立坐標(biāo)系中任意一點(diǎn) P (x,y) 的大地坐標(biāo) X ， Y 為

X ＝ X 0 +xcosα0-ysinα0

(14)

Y ＝ Y 0 +xsinα0+ycosα0

(15)

這里， X 0 ,Y0 可由點(diǎn) YH 或 HY 已知坐標(biāo)數(shù)據(jù) ( 大地、獨(dú)立 ) 用上兩式求得。
　　 P 點(diǎn)切線大地方位角

α =α0+signβ

(16)

　　法線大地方位角

τ ＝ (α-sign90)±180

(17)

三、算　例
　　 廣東某高速公路一段卵形曲線設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)的特征點(diǎn)大地坐標(biāo)見表 1 ，緩和曲線參數(shù) A ＝ 30 0 ，緩和曲線長(zhǎng)度 l 0 =157.50 m ，兩相接圓曲半徑見圖 4 。求緩和曲線內(nèi)兩里程樁號(hào)點(diǎn)的大地坐標(biāo)及法向方位角。

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圖 4

表 1 　部分設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)

點(diǎn)　　號(hào) )/( 里程樁號(hào) )/(X/m)/(Y ／ m)/( 其他數(shù)據(jù)

圓緩點(diǎn) (YH))/(K0+327.43)/(3 961.506)/(4 033.679)/(T1=59.95

交　點(diǎn) (JD))/(K0+387.38)/(3 998.132)/(3 986.223)/(T2=97.98

緩圓點(diǎn) (HY))/(K0+484.93)/(4 071.589)/(3 921.382)/(θ ＝ 10°54′13″

　　簡(jiǎn)要計(jì)算如下：
　　因 R 2 >R1 ，可見回旋線起點(diǎn)在 R 2 端且左旋 (sign=-1) ，建立獨(dú)立坐標(biāo)系如圖 4 。則

l 1 =A2/R2=30 m
ls=l1+l0=A2/R1 ＝ 187.50 m

由此代入式 (7) 、式 (8) 并注意到 R ＝ R 1 =480 得 HY ， YH 點(diǎn)獨(dú)立坐標(biāo)為

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由直線 HY-YH 的大地方位角 α 1 和獨(dú)立方位角 α 2 得獨(dú)立坐標(biāo)軸 x 的大地方位角

α =α1-α2 ＝ 138°51′05″

則

X 0 ＝ 4 094.145 　　 Y 0 ＝ 3 901.605

于是緩和曲線上點(diǎn) K 0 +420 處、 K 0 +380 處坐標(biāo)與方位角數(shù)據(jù)可得

　　　　　　　　　 K 0 +420 ： (l′=l1+484.93-420=94.93)

　　　　　 x =94.906 　　 y =-1.584 　　 β ＝ 2°52′06″

　　　　　　　 X =4 023.723 　 Y =3 965.247 　 τ ＝ 45°58′59″

K 0 +380 ： (l′=l1+484.93-380=134.93)

　　　　　　 x =134.792 　　 y =-4.546 　　 β ＝ 5°47′43″

　　　　　　　　 X =3 995.637 　 Y =3 993.723 　 τ ＝ 43°03′22″

四、結(jié)束語
　　卵形曲線中兩圓曲之間的緩和曲線段是螺旋回旋線不含起點(diǎn)的一部分。其上任意點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì) 算仍可套用平面線形基本形中的緩和曲線點(diǎn)的坐標(biāo)公式。本文給出的卵形曲線中緩和曲線段 任一點(diǎn)的坐標(biāo)特別是大地坐標(biāo)及其法向方位角的解算方案及公式，既解決了測(cè)設(shè)數(shù)據(jù)的數(shù)值 計(jì)算問題，又適應(yīng)了野外測(cè)設(shè)使用大地坐標(biāo)設(shè)站靈活性強(qiáng)、效率高、節(jié)省外業(yè)工作量的現(xiàn)代 發(fā)展趨勢(shì)。使用可編程的便攜機(jī)非常方便快捷。