§ 高斯投影坐標(biāo)正反算公式

任何一種投影 ① 坐標(biāo)對應(yīng)關(guān)系是最主要的； ② 如果是正形投影，除了滿足正形投影的條件外（ C-R 偏微分方程），還有它本身的特殊條件。

1.1 高斯投影坐標(biāo)正算公式： B, x,y

高斯投影必須滿足以下三個條件 ：

① 中央子午線投影后為直線； ② 中央子午線投影后長度不變； ③ 投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。

由第一條件知中央子午線東西兩側(cè)的投影必然對稱于中央子午線，即 (8-10) 式中， x 為 的偶函數(shù)， y 為 的奇函數(shù)； ，即 ，如展開為 的級數(shù)，收斂。

（ 8-33 ）

式中 是待定系數(shù)，它們都是緯度 B 的函數(shù)。

由第三個條件知：

(8-33) 式分別對 和 q 求偏導(dǎo)數(shù)并代入上式

(8-34)

上兩式兩邊相等，其必要充分條件是同次冪 前的系數(shù)應(yīng)相等，即

(8-35)

(8-35) 是一種遞推公式，只要確定了 就可依次確定其余各系數(shù)。

由第二條件知 : 位于中央子午線上的點(diǎn)，投影后的縱坐標(biāo) x 應(yīng)等于投影前從赤道量至該點(diǎn)的子午線弧長 X ，即 (8-33) 式第一式中，當(dāng) 時有：

(8-36)

顧及 ( 對于中央子午線 )

得：

(8-37,38)

(8-39)

依次求得 并代入 (8-33) 式，得到高斯投影正算公式

(8-42)

1.2 高斯投影坐標(biāo)反算公式

x,y B,

投影方程：

(8-43)

滿足以下三個條件 ：

①x 坐標(biāo)軸投影后為中央子午線是投影的對稱軸； ② x 坐標(biāo)軸投影后長度不變； ③ 投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。

高斯投影坐標(biāo)反算公式推導(dǎo)要復(fù)雜些。

① 由 x 求底點(diǎn)緯度 ( 垂足緯度 ), 對應(yīng)的有底點(diǎn)處的等量緯度 ，求 x,y 與 的關(guān)系式，仿照 (8-10) 式有，

由于 y 和橢球半徑相比較小 (1/16.37) ，可將 展開為 y 的冪級數(shù)；又由于是對稱投影， q 必是 y 的偶函數(shù)， 必是 y 的奇函數(shù)。

(8-45)

是待定系數(shù)，它們都是 x 的函數(shù) .

由第三條件知：

，

， (8-21)

(8-45) 式分別對 x 和 y 求偏導(dǎo)數(shù)并代入上式

上式相等必要充分條件，是同次冪 y 前的系數(shù)相等，

第二條件，當(dāng) y=0 時，點(diǎn)在中央子午線上，即 x=X ，對應(yīng)的點(diǎn)稱為底點(diǎn)，其緯度為底點(diǎn)緯度 ，也就是 x=X 時的子午線弧長所對應(yīng)的緯度，設(shè)所對應(yīng)的等量緯度為 。也就是在底點(diǎn)展開為 y 的冪級數(shù)。

由 (8-45)1 式

依次求得其它各系數(shù)

(8-51)

(8-51)1

…………

將 代入 (8-45)1 式得

(8-55)1

(8-55)

將 代入 (8-45)2 式得 (8-56)2 式。 ( 最后表達(dá)式 )

② 求 與 的關(guān)系。

由 (8-7) 式 知：

(8-47)

(8-48)

按臺勞級數(shù)在 展開

(8-49)

(8-50)

由 (8-7) 式可求出各階導(dǎo)數(shù)：

(8-53)

(8-54)1

(8-54)2

…………………

將式 (8-55)1,(8-55),(8-53),(8-54) 代入 (8-50) 式并按 y 冪集合得高斯投影坐標(biāo)反算公式 (8-56)1,

(8-56)

歸納由 求 的基本思想 ：由點(diǎn) 得到底點(diǎn) ，將底點(diǎn) f 作為過渡，也就是說將坐標(biāo)原點(diǎn) o 移到 f 點(diǎn)，先求 關(guān)系式，再將 關(guān)系式代入 關(guān)系式得 關(guān)系式，最后將坐標(biāo)原點(diǎn)移回到 o 點(diǎn) , 從而求得 點(diǎn)。

1.3 高斯投影坐標(biāo)正反算公式的幾何解釋

① 當(dāng) B=0 時 x=X=0 ， y 則隨 l 的變化而變化，這就是說，赤道投影為一直線且為 y 軸。當(dāng) l=0 時 , 則 y=0,x=X, 這就是說，中央子午線投影亦為直線，且為 x 軸，其長度與中央子午線長度相等。兩軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。 ② 當(dāng) l= 常數(shù)時 ( 經(jīng)線 ), 隨著 B 值增加， x 值增大， y 值減小，這就告訴我們，經(jīng)線是凹向中央子午線的曲線，且收斂于兩極。又因 ，即當(dāng)用 -B 代替 B 時， y 值不變，而 x 值數(shù)值相等符號相反，這就說明赤道是投影的對稱軸。 ③ 當(dāng) B= 常數(shù)時 ( 緯線 ) ，隨著的 l 增加， x 值和 y 值都增大，這就是說，緯線是凸向赤道的曲線。又當(dāng)用 -l 代替 l 時， x 值不變，而 y 值數(shù)值相等符號相反，這就說明，中央子午線是投影對稱軸。由于滿足正形投影條件，所以經(jīng)線和緯線的投影是互相垂直的。 ④ 距中央子午線愈遠(yuǎn)的子午線，投影后彎曲愈厲害，表明長度變形愈大。