在公路中線坐標(biāo)計(jì)算中，我們通常采用切線支距公式來(lái)計(jì)算曲線上各點(diǎn)的坐標(biāo)。但當(dāng)在不同的曲線上計(jì)算時(shí)就需用不同的計(jì)算公式，這為計(jì)算也帶來(lái)不便。在設(shè)有緩和曲線的圓曲線半徑較小或是卵形曲線上的坐標(biāo)計(jì)算時(shí)，如公式選用不當(dāng)就會(huì)出現(xiàn)較大計(jì)算誤差，即便是能對(duì)切線支距公式進(jìn)行多項(xiàng)展開(kāi)，也會(huì)增加計(jì)算的難度。而用復(fù)化辛卜生公式不僅能解決不同曲線線型或直線上的坐標(biāo)計(jì)算問(wèn)題，而且用復(fù)化辛卜生公式計(jì)算完全是可逆的（即：可順前進(jìn)方向也可逆向計(jì)算），尤其在計(jì)算第二緩和曲線和卵形曲線時(shí)顯得尤為方便。
用辛卜生公式計(jì)算坐標(biāo)的精度可由人為或程序自行判斷，其計(jì)算結(jié)果完全能保證坐標(biāo)計(jì)算的精度要求。因此，可以說(shuō)復(fù)化辛卜生公式是一個(gè)計(jì)算公路中線坐標(biāo)的萬(wàn)能公式。下面本人就該公式在公路中線坐標(biāo)計(jì)算中的具體應(yīng)用進(jìn)行實(shí)例解析。
一、復(fù)化辛卜生公式
式中：
H=（Zi－ZA）/n
(公式2)
(公式3)
Zi—待求點(diǎn)樁號(hào)
ZA—曲線元起點(diǎn)樁號(hào)
ZB—曲線元終點(diǎn)樁號(hào)
ρA—曲線元起點(diǎn)曲率
ρB—曲線元終點(diǎn)曲率
a i曲線上任意一點(diǎn)處切線方位角的計(jì)算方法有以下三種方法：
1．利用公式（3）求得曲率代入公式（2）計(jì)算
2．利用曲線元上已知起點(diǎn)和終點(diǎn)曲率用內(nèi)插法求得曲率代入公式（2）計(jì)算
3．利用切線角公式計(jì)算
二、算例
例：已知雅（安）攀（枝花）高速公路西昌西寧立交A匝道一卵形曲線（卵形曲線相關(guān)參數(shù)見(jiàn)圖一，其計(jì)算略。），相關(guān)設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)見(jiàn)下表�，F(xiàn)用辛卜生公式來(lái)計(jì)算卵形曲線中樁坐標(biāo)。
圖一
已知相關(guān)設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)見(jiàn)下表：
| 主點(diǎn)
樁號(hào) |
坐 標(biāo)
（m） |
切線方位角
（θ） |
|
| X | Y | ° ’ ” | |
| ZH
AK0+090 |
9987.403 | 10059.378 | 92 17 26.2 |
| HY1
AK0+160 |
9968.981 | 10125.341 | 132 23 51.6 |
| YH1
AK0+223.715 |
9910.603 | 10136.791 | 205 24 33.6 |
| HY2
AK0+271.881 |
9880.438 | 10100.904 | 251 24 18.5 |
| YH2
AK0+384.032 |
9922.316 | 10007.909 | 337 04 54.2 |
| HZ
AK0+444.032 |
9981.363 | 10000.000 | 0 00 00 |
（一）由+271.881推算Zi=+223.715的坐標(biāo)，n取2等分
用公式(3)、公式（2）計(jì)算+247.798處曲線及方位角:
ρ+247.798=1÷75+(1÷50-1÷75)(247.798-271.881) ÷(223.715-271.881)
=0.01666666666666667
a+247.798=71°24’18.5” +(0.016666667+1÷75)(247.798-271.881)×180÷π÷2
=50°42’26.37”
其它各點(diǎn)依次代入公式計(jì)算，結(jié)果見(jiàn)下表:
曲率及切線方位角計(jì)算表
| 樁號(hào) | n等分點(diǎn)處曲線曲率 | n等分點(diǎn)處
切線方位角 ° ’ ” |
2n等分點(diǎn)處曲線曲率 | 2n等分點(diǎn)處
切線方位角 ° ’ ” |
||
| 公式(3)
計(jì) 算 |
內(nèi)插法
計(jì) 算 |
公式(3)
計(jì) 算 |
內(nèi)插法
計(jì) 算 |
|||
| +271.881 | 0.013333333=1/75 | 71 24 18.5 | ||||
| +259.840 | 0.015 | 0.015 | 61 37 52.2 | |||
| +247.798 | 0.016666667 | 0.016666667 | 50 42 26.4 | |||
| +235.757 | 0.018333333 | 0.0183333333 | 38 38 0.96 | |||
| +223.715 | 0.02=1/50 | 25 24 36 | ||||
切線方位角圖示1
將計(jì)算出的數(shù)據(jù)代入公式（1）求得+223.715中樁坐標(biāo)如下：
X=9880.438+(271.881-223.715)÷2÷6×(cos71°24’18.5”+4(cos61°37’52.22”+cos38°38’0.96”)
+2cos50°42’26.37”+ cos25°24’35.99”)
=9910.5975 (設(shè)計(jì)值：9910.603)
Y=10100.904+(223.715-271.881)÷2÷6×(sin71°24’18.5”+4(sin61°37’52.22”+sin38°38’0.96”)
+2sin50°42’26.37”+ sin25°24’35.99”)
=10136.7945 (設(shè)計(jì)值：10136.791)
（二）由+223.715推算Zi=+271.881的坐標(biāo)，n取2等分
用公式(3)計(jì)算+247.798處曲線及方位角:
ρ+247.798=1÷50+(1÷75-1÷50)(247.798-223.715)÷(271.881-223.715)
=.01666666666666667
a+247.798=205°24’33.6”+ (0.016666667+1÷50)(247.798-223.715)×180÷π÷2
=230°42’23.98”
其它各點(diǎn)依次代入公式計(jì)算，結(jié)果見(jiàn)下表:
曲率及切線方位角計(jì)算表
| 樁號(hào) | n等分點(diǎn)處曲線曲率 | n等分點(diǎn)處
切線方位角 ° ’ ” |
2n等分點(diǎn)處曲線曲率 | 2n等分點(diǎn)處
切線方位角 ° ’ ” |
||
| 公式(3)
計(jì) 算 |
內(nèi)插法
計(jì) 算 |
公式(3)
計(jì) 算 |
內(nèi)插法
計(jì) 算 |
|||
| +223.715 | 0.02=1/50 | 205 24 33.6 | ||||
| +235.757 | 0.018333333 | 0.0183333333 | 218 37 58.6 | |||
| +247.798 | 0.016666666 | 0.016666666 | 230 42 24.0 | |||
| +259.840 | 0.015 | 0.015 | 241 37 49.8 | |||
| +271.881 | 0.013333333=1/75 | 251 24 18.5 | ||||
切線方位角圖示2
X=9910.603+(271.881-223.715)÷2÷6×(cos205°24’33.6”+4(cos218°37’58.87”+cos241°37’49.83”)
+2cos230°42’23.98”+ cos251°24’16.11”)
=9880.4431 (設(shè)計(jì)值：9880.438)
Y=10136.791+(271.881-223.715)÷2÷6×(sin205°24’33.6”+4(sin218°37’58.87”+sin241°37’49.83”)
+2sin230°42’23.98”+ sin251°24’16.11”)
=10100.9008 (設(shè)計(jì)值：10100.904)
由上可知，利用復(fù)化辛卜生公式計(jì)算路線坐標(biāo)時(shí)可順向或逆向計(jì)算。
（三）前面正、反向的計(jì)算均是從卵形曲線的部分推算的，現(xiàn)在我們從卵形曲線所在完整緩和曲線的起點(diǎn)HZ’=+368.213點(diǎn)來(lái)推算終點(diǎn)+223.715和中間點(diǎn)+271.881.
ai=aA-90L2÷(πRLS)公式(4)
1.計(jì)算Zi=+223.715中樁坐標(biāo)
曲線元上等分點(diǎn)曲率及切線方位角計(jì)算表(n取4等分)
切線方位角圖示3
X=9890.293+(368.213-223.715)÷4÷6×(cos108°12’02.1”+4(cos106°54’25.22”+cos96°33’28.64”
+ cos75°51’37.54”+ cos44°48’47.8”)+2(cos103°01’34.58”+ cos87°30’9.97” +cos61°37’51.35”)
+ cos25°24’33.58”)
=9910.5963 (設(shè)計(jì)值：9910.603)
Y=10006.838+ (368.213-223.715)÷4÷6×(sin108°12’02.1”+4(sin106°54’25.22”+sin96°33’28.64”
+ sin75°51’37.54”+ sin44°48’47.8”)+2(sin103°01’34.58”+ sin87°30’9.97” +sin61°37’51.35”)
+ sin25°24’33.58”)
=10136.7925 (設(shè)計(jì)值：10136.791)
2.計(jì)算zi=+271.881中樁坐標(biāo)
曲線元上等分點(diǎn)曲率及切線方位角計(jì)算表(n取4等分)
| 樁號(hào) | n等分點(diǎn)處
曲線曲率 |
n等分點(diǎn)處
切線方位角 ° ’ ” |
2n等分點(diǎn)處曲線曲率 | 2n等分點(diǎn)處
切線方位角 ° ’ ” |
||
| 內(nèi)插法
計(jì) 算 |
公式(2)計(jì)算 | 公式(4)計(jì)算 | 內(nèi)插法
計(jì) 算 |
公式(2)計(jì)算 | 公式(4)計(jì)算 | |
| +368.213 | 0 | 108 12 02.1 | ||||
| +356.172 | 0.001666667 | 107 37 32.49 | ||||
| +344.130 | 0.003333333 | 105 54 02.97 | ||||
| +332.089 | 0.005 | 103 01 34.58 | ||||
| +320.047 | 0.006666667 | 99 00 05.6 | ||||
| +308.006 | 0.008333333 | 93 49 38.42 | ||||
| +295.964 | 0.01 | 87 30 09.97 | ||||
| +283.923 | 0.011666667 | 80 01 44.02 | ||||
| +271.881 | 0.013333333=1/75 | 71 24 16.09 | ||||
| +223.715 | 0.02=1/50 | 25 24 33.58 | 25 24 33.58 | |||
切線方位角圖示4
X=9890.293+(368.213-271.881)÷4÷6×(cos108°12’2.1”+4(cos107°37’32.49”+cos103°01’34.58”
+ cos93°49’38.42”+ cos80°01’44.02”)+2(cos105°54’02..97”+ cos99°00’05.6” +cos87°30’09.97”)
+ cos71°24’16.09”)
=9880.4416 (設(shè)計(jì)值：9880.438)
Y=10006.838+ (368.213-271.881)÷4÷6×(sin108°12’2.1”+4(sin107°37’32.49”+sin103°01’34.58”
+ sin93°49’38.42”+ sin80°01’44.02”)+2(sin105°54’02.97”+ sin99°00’05.6” +sin87°30’09.97”)
+ sin71°24’16.09”)
=10100.9008 (設(shè)計(jì)值：10100.904)
由此我們不難看出，利用復(fù)化辛卜生公式計(jì)算公路中樁坐標(biāo)不僅順逆向很方便，而且可從中任取一段進(jìn)行計(jì)算。而計(jì)算中的關(guān)鍵是計(jì)算各等分點(diǎn)處的切線方位角，同時(shí)應(yīng)分清n與2n等分點(diǎn)，注意不要混淆。對(duì)于n的取值，從上我們可以看出：對(duì)一般緩和曲線取2-3即可，對(duì)卵形曲線視推算基準(zhǔn)點(diǎn)而言不少于4。
其它如圓曲線、直線等中樁坐標(biāo)的計(jì)算方法是一樣的，在此就不一一簡(jiǎn)述。
| 樁 號(hào) | n等分點(diǎn)處
曲線曲率 |
n等分點(diǎn)處
切線方位角 ° ’ ” |
2n等分點(diǎn)處曲線曲率 | 2n等分點(diǎn)處
切線方位角 ° ’ ” |
||||
| 公式(3)
計(jì) 算 |
內(nèi)插法
計(jì) 算 |
公式(2)計(jì)算 | 公式(4)計(jì)算 | 公式(3)
計(jì) 算 |
內(nèi)插法
計(jì) 算 |
公式(2)計(jì)算 | 公式(4)計(jì)算 | |
| +368.213 | 0 | 108 12 02.1 | ||||||
| +350.151 | 0.0025 | 0.0025 | 106 54 25.16 | 106 54 25.22 | ||||
| +332.089 | 0.005 | 0.005 | 103 01 34.33 | 103 01 34.58 | ||||
| +314.026 | 0.0075 | 0.0075 | 96 33 28.83 | 96 33 28.64 | ||||
| +295.964 | 0.01 | 0.01 | 87 30 09.97 | 87 30 9.97 | ||||
| +277.902 | 0.0125 | 0.0125 | 75 51 37.22 | 75 51 37.54 | ||||
| +259.840 | 0.015 | 0.015 | 61 37 50.58 | 61 37 51.35 | ||||
| +241.777 | 0.0175 | 0.0175 | 44 48 48.25 | 44 48 47.8 | ||||
| +223.715 | 0.02=1/50 | 25 24 33.58 | 25 24 33.58 | |||||
