摘要：工程中彈性大變形問題的余能中包含著與微元旋轉(zhuǎn)有關(guān)的量，因此可將工程中的彈性大變形的余能分解為余能轉(zhuǎn)動(dòng)部分和變形部分組成，基于這一思路，本文以幾何非線性余能原理概念為基礎(chǔ)，通過算例分析驗(yàn)證了該原理可用于解決幾何非線性大變形問題。 

關(guān)鍵詞：余能原理；非線性；大變形 
　　1 概述 
　　從基面力概念的概念出發(fā)，以Lagrange乘子法松弛單元域內(nèi)的平衡條件，就可以得到諸如：材料的本構(gòu)關(guān)系、結(jié)構(gòu)的邊界條件與平衡方程等彈性力學(xué)問題的基本方程表達(dá)式，同時(shí)還可以據(jù)此建立余能原理。同樣，在研究結(jié)構(gòu)的受力性能時(shí)，特別是在工程結(jié)構(gòu)大變形的分析中，基面力具有傳統(tǒng)的二階應(yīng)力張量無法比擬的優(yōu)越性，為解決工程中的幾何非線性大變形問題的計(jì)算分析提供了一個(gè)極佳的方法。因此，本文以幾何非線性余能原理為基礎(chǔ)，采用迭代法，對某一懸臂梁自由端頂部承受集中荷載作用而產(chǎn)生大變形的工程數(shù)值算例進(jìn)行分析，分析所得結(jié)果并與相關(guān)有限元理論數(shù)值解進(jìn)行對比，進(jìn)而驗(yàn)證了該原理適用性。 
　　2 數(shù)學(xué)模型建立 
　　工程中彈性大變形問題的余能中包含著與微元旋轉(zhuǎn)有關(guān)的量，因此可將工程中的彈性大變形的余能主要分解為余能轉(zhuǎn)動(dòng)部分和余能變形部分�；谶@一思路，文中以幾何非線性余能原理概念為基礎(chǔ)，給出了幾何非線性中的大位移、大轉(zhuǎn)動(dòng)的余能表達(dá)式的具體形式，并結(jié)合單元柔度矩陣，利用Lagrange乘子法最后給出余能有限元控制方程。 
　　2.1由上述可知單元余能 由轉(zhuǎn)動(dòng)部分 和變形部分 兩部分組成。 
　　2.1.1單元余能的轉(zhuǎn)動(dòng)部分 表達(dá)式為： 
　　2.1.2單元余能的變形部分 表達(dá)式為： 
　　2.2柔度矩陣 
　　單元柔度矩陣的顯式表達(dá)式為 
　　式（3）中，U為單位張量，E材料的彈性模量， ν為材料的泊松比。 
　　2.3支配方程 
　　利用Lagrange乘子法，放松平衡條件約束，則修正的泛函可寫成 
　　3 工程算例分析 
　　懸臂梁自由端承受集中力作用的幾何非線性大位移分析，某一懸臂梁的自由端部受集中力p作用（如圖1所示），該懸臂梁的長度為L=5m，梁截面高為h=0.1m，b為梁的單位寬度，集中力為p=50N。計(jì)算時(shí)，按平面應(yīng)力問題考慮，梁的彈性模量為E=3×106N/m2，在本算例中集中力荷載采用進(jìn)行一次加載分析。 
　　計(jì)算時(shí)，有限元單元采用四邊形單元，有限元網(wǎng)格的剖分見圖1所示，在本分析中該懸臂梁共有389個(gè)邊中節(jié)點(diǎn)和180個(gè)四邊形單元。下面將計(jì)算所得懸臂梁自由端的無量綱水平位移u/L值和無量綱豎向位移值v/L與無量綱荷載k=PL2/EI值的關(guān)系，以及與非線性理論解和非線性勢能原理有限元解，文中簡稱為PFEM的比較關(guān)系列于表1，而相應(yīng)于無量綱荷載k=PL2/EI值與u/L及v/L值的對應(yīng)關(guān)系圖如圖2和圖3所示。 
　　由表1可知，當(dāng)k=0.5時(shí)，u/L值的三個(gè)解都是0.016；當(dāng)k=1時(shí)，u/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為0.002；當(dāng)k=2時(shí)，u/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為-0.0045；當(dāng)k=3時(shí)，u/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為0.009；當(dāng)k=4時(shí)，u/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為0.002；當(dāng)k=5時(shí)，u/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為0.003，由此可知在本算例分析中，u/L值中本文解與PFEM解和理論解的對應(yīng)較好，最大差值僅為0.009。 
　　同理，由表1可知，當(dāng)k=0.5時(shí)，v/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為0.002；當(dāng)k=1時(shí)，v/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為0.003；當(dāng)k=2時(shí)，v/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為0.010；當(dāng)k=3時(shí)，v/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為0.009；當(dāng)k=4時(shí)，v/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為0.002；當(dāng)k=5時(shí)，v/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為0.021，對應(yīng)于u/L值中本文解與PFEM解和理論解的對應(yīng)情況可知v/L值中本文解與PFEM解和理論解的對應(yīng)差值在k=5時(shí)有較大的區(qū)別，其最大值為0.021，主要原因是本算例分析中梁自由端的大變形以豎向變形為主，相對數(shù)值較大，可考慮增加該方向結(jié)構(gòu)的有限元單元?jiǎng)澐謹(jǐn)?shù)量，細(xì)化計(jì)算結(jié)果。 
　　結(jié)語 
　�。�1）由本工程算例分析可知，對于工程中幾何非線性大變形問題可應(yīng)用本文中給出幾何非線性余能原理有限元公式進(jìn)行求解且與PFEM解和理論解吻合較好，對于解決工程實(shí)際問題具有一定的理論和實(shí)際應(yīng)用意義。 
　�。�2）對以某一方向變形為主的幾何非線性大變形問題，可適當(dāng)考慮增加該方向的有限單元網(wǎng)格的劃分?jǐn)?shù)量，以提高該方向的變形位移值計(jì)算精度。 
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