地震波在傳播過程中除沿傳播方向波動(dòng)外，沿垂直于傳播方向也會出現(xiàn)波動(dòng)，因而地震波對于地面上的建筑物產(chǎn)生水平和豎向兩個(gè)方向的波動(dòng)，而水平向的地震波又可沿x、y向分解為相互垂直的兩個(gè)方向，故結(jié)構(gòu)可按受x、y、z三向地震波作用進(jìn)行地震反應(yīng)分析。雖然各國規(guī)范的結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)計(jì)算方法不盡相同，但均應(yīng)考慮兩點(diǎn)：三向地震波地面加速度的峰值大小比例及結(jié)構(gòu)三向地震反應(yīng)的組合方法。下面以抗規(guī)和歐標(biāo)EC8為例，將結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)計(jì)算組合方法加以對比。
1.抗規(guī)GB50011-2010(2016版)
(1)小震反應(yīng)譜法
抗規(guī)小震設(shè)計(jì)，采用振型分解反應(yīng)譜法，結(jié)構(gòu)三向地震作用效應(yīng)𝑆𝑥、 𝑆𝑦、 𝑆𝑧（記為𝑆𝑣）的比例為1：0.85：0.65。這組比例值可以這樣理解：水平地震分解成x、y雙向時(shí)，考慮一個(gè)對設(shè)計(jì)安全合理的方向角，x、y的比例為1：0.85;豎向地震一般小于水平地震，比例為1：0.65。
采用反應(yīng)譜法時(shí)，水平地震作用效應(yīng)不可能同時(shí)達(dá)到最大值，因而𝑆𝑥與 𝑆𝑦的組合不能采用算術(shù)值相加法�？挂�(guī)采用平方和開方法求解水平地震作用效應(yīng)，即中歐規(guī)范對結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)計(jì)算組合方法的異同_3。平方和開方法通常用于處理頻率不相關(guān)的兩個(gè)時(shí)程反應(yīng)過程的和，可解釋為有效值。考慮水平地震與豎向地震不是同時(shí)達(dá)到最大值，抗規(guī)采用考慮組合系數(shù)的方法將𝑆ℎ 與 𝑆𝑣累加進(jìn)行組合，組合值系數(shù)取1和0.4，即𝑆=𝑆ℎ +0.4𝑆𝑣。
豎向地震和水平地震的另一個(gè)組合方式是平方和開方法組合法，即
這里我們需要比較一下中歐規(guī)范對結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)計(jì)算組合方法的異同_5和𝑆𝑏=𝑆ℎ +0.4𝑆𝑣的數(shù)值差別，引入變量β
從上圖曲線可見，當(dāng)Sv/Sh在(0~2.0)區(qū)間范圍內(nèi)，Sa和Sb的差別基本在20%內(nèi)，尤其當(dāng)Sh>Sv時(shí)，兩者的差別不大于10%，因此在工程應(yīng)用領(lǐng)域，可以認(rèn)為中歐規(guī)范對結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)計(jì)算組合方法的異同_8和𝑆ℎ +0.4𝑆𝑣這兩個(gè)公式是近似等效的。同理可推論得到如下三個(gè)公式近似等效：
對于單向地震作用效應(yīng)𝑆𝑥，抗規(guī)采用振型分解反應(yīng)譜法，以SRSS或CQC進(jìn)行組合，相關(guān)介紹已很多，這里不再贅述。
(2)大震動(dòng)力時(shí)程法
抗規(guī)大震計(jì)算采用動(dòng)力時(shí)程法，三向地震地面加速度峰值比例為1：0.85：0.65，這個(gè)比例與前面的小震反應(yīng)譜法三向地震的比例相同。那么水平雙向地震組合的平方和開方及豎向地震的0.4組合系數(shù)是怎樣實(shí)現(xiàn)的呢?這個(gè)事應(yīng)該反過來說，三向地震波輸入下，由于地震波不是同時(shí)達(dá)到峰值，因而結(jié)構(gòu)地震作用效應(yīng)也不會同時(shí)達(dá)到最大�？挂�(guī)的水平地震及豎向地震作用效應(yīng)組合方法，正是考慮了這一點(diǎn)，給出了一個(gè)可以接受的安全合理值。
2.歐標(biāo)EC8
EC8為歐標(biāo)的抗震標(biāo)準(zhǔn)。歐標(biāo)采用中震(設(shè)防地震)設(shè)計(jì)，包括反應(yīng)譜法和動(dòng)力時(shí)程法。
（1）中震反應(yīng)譜法
歐標(biāo)的中震設(shè)計(jì)反應(yīng)譜法引入大于1的性能系數(shù)，以考慮結(jié)構(gòu)桿件進(jìn)入塑性后承載力的降低。當(dāng)性能系數(shù)等于3時(shí)，相當(dāng)于抗規(guī)的小震設(shè)計(jì)。
歐標(biāo)中震設(shè)計(jì)，采用振型分解反應(yīng)譜法時(shí)，結(jié)構(gòu)三向地震作用效應(yīng)𝑆𝑥、 𝑆𝑦、 𝑆𝑧(記為𝑆𝑣)的比例為1：1：0.9。𝑆𝑥與 𝑆𝑦的比例歐標(biāo)沒有明確，只是說應(yīng)按實(shí)考慮，這里暫且取1：1。豎向0.9有明確。
采用反應(yīng)譜法時(shí)，歐標(biāo)推薦下面兩種組合方法
式(4)為正推，式(5)為可選。歐標(biāo)同時(shí)指出，式(4)偏于保守。
（2）中震動(dòng)力時(shí)程法
歐標(biāo)中震動(dòng)力時(shí)程法三向地震地面加速度峰值的比例為1：1：0.9，與中震反應(yīng)譜法一致。與前面抗規(guī)大震動(dòng)力時(shí)程法的分析一樣，三向地震波輸入下，由于地震波不是同時(shí)達(dá)到峰值，因而結(jié)構(gòu)地震作用效應(yīng)也不會同時(shí)達(dá)到最大。采用時(shí)程法正好能體現(xiàn)出這個(gè)組合效應(yīng)。一般可以認(rèn)為這種“自動(dòng)”的組合效應(yīng)更接近于式(5)的組合公式，這也可以稍微解釋一下抗規(guī)的小震時(shí)程結(jié)果常常小于反應(yīng)譜的結(jié)果。
3.結(jié)論及討論
（1）抗規(guī)反應(yīng)譜法式(1)等同于歐標(biāo)的式(4)，也可以說它們與式(3)等價(jià);
（2）式(3)的結(jié)果偏大，實(shí)際結(jié)果更接近歐標(biāo)的式(5);
（3）對于豎向地震作用效應(yīng)，考慮到抗規(guī)相當(dāng)于性能系數(shù)為3的歐標(biāo)，歐標(biāo)豎向性能系數(shù)取1.5，及歐標(biāo)豎向地震與水平地震的比例較大等因素，歐標(biāo)對其的組合取值明顯大于抗規(guī);
（4）本文的分析略去了不屬于抗震計(jì)算本質(zhì)的一些東西，如地震作用效應(yīng)分項(xiàng)系數(shù)等，使得分析結(jié)果更明確并具有可比性。
附：水平雙向地震輸入時(shí)地震波的峰值取值
最后，談一下雙向水平地震輸入時(shí)地震波的峰值取值問題�？挂�(guī)給出的比例為𝑎𝑥：𝑎𝑦=1：0.85，暗含x向取值為地面峰值加速度，如8度小震取70gal，此時(shí)y向取0.85×70。歐標(biāo)EC8未給出這個(gè)比例，故也就沒有明示單向峰值的取值(美標(biāo)也是如此)。
前面說過，地震波以縱波和橫波形式傳至地面，形成水平向(橫向)和豎向兩個(gè)方向的地震波。水平波𝑎ℎ和豎向波 𝑎𝑣的峰值為設(shè)計(jì)取值，比如8度小震𝑎ℎ=70gal 𝑎𝑣=0.65×70gal 。注意到此時(shí)水平波𝑎ℎ的方向可為360度，因而對于一個(gè)建筑物來說，在xy坐標(biāo)系中可形成圖2的組合，典型的三組值為𝑎𝑥 ：𝑎𝑦=1 ：0 ；𝑎𝑥：𝑎𝑦=0：1 ；𝑎𝑥：𝑎𝑦=中歐規(guī)范對結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)計(jì)算組合方法的異同_12，即當(dāng)水平雙向地震波共存時(shí)，單向峰值比例系數(shù)小于1，即當(dāng)水平雙向地震波共存時(shí)，單向峰值比例系數(shù)小于1，且遵循下式
由式(6)可知，抗規(guī)雙向水平地震計(jì)算時(shí)，以𝑎𝑥 ：𝑎𝑦=1：0.85的比例將𝑎𝑥取峰值偏大了，大了多少呢?中歐規(guī)范對結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)計(jì)算組合方法的異同_14，故總體大了 30%。由式(6)可以算出這個(gè)比例，即取𝑎𝑥²+(0.85𝑎𝑥）²=1，得到這個(gè)比例為𝑎𝑥：𝑎𝑦=0.76：0.65。
那么抗規(guī)為什么不按𝑎𝑥：𝑎𝑦=0.76：0.65取峰值呢?因?yàn)樵谟?jì)算機(jī)不發(fā)達(dá)的年代，這樣的話要按圖2的組合做0-90度的雙向水平地震計(jì)算，未免工作量太大。但如果只取𝑎𝑥：𝑎𝑦=0.76：0.65進(jìn)行計(jì)算，偏于不安全，下面舉例說明。
圖3，雙向?qū)ΨQ結(jié)構(gòu)，每一方向的單向地震作用僅由本方向的抗側(cè)力構(gòu)件承擔(dān)。這個(gè)結(jié)構(gòu)的合理計(jì)算方法為取兩個(gè)組合𝑎𝑥：𝑎𝑦=1：0、𝑎𝑥：𝑎𝑦=0：1 進(jìn)行計(jì)算，即分別取x和y的單向峰值計(jì)算即可。如取𝑎𝑥 ：𝑎𝑦=0.76：0.65，則𝑥向只加了0.76的地震作用，不安全。
圖4，雙向偏心結(jié)構(gòu)，如取單向組合𝑎𝑥：𝑎𝑦=1：0，偏心引起的扭轉(zhuǎn)作用為1×e;而組合𝑎𝑥：𝑎𝑦=0.76：0.65引起的扭轉(zhuǎn)作用為0.76×𝑒+0.65×𝑒 =1.41e，在這種情況下，相當(dāng)于地震角度與X軸的夾角為arctan(0.65/-0.75)=-40.54°
本文后附算例，計(jì)算了典型雙向偏心結(jié)構(gòu)在不同地震角度下的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)。證明了對于此類結(jié)構(gòu)，僅計(jì)算單向地震作用會低估地震扭轉(zhuǎn)效應(yīng)。
以上推導(dǎo)雖不嚴(yán)謹(jǐn)，但從定性上能說明對于圖4雙向偏心結(jié)構(gòu)，按單向水平地震輸入結(jié)果會算小，對于圖3雙向?qū)ΨQ結(jié)構(gòu)按𝑎𝑥：𝑎𝑦=0.76：0.65也會使結(jié)果算小，兩種情況均是不安全的。
總結(jié)一下，對于雙向水平地震，抗規(guī)取𝑎𝑥：𝑎𝑦=1：0.85且𝑎𝑥取峰值偏大偏安全是個(gè)可取的方法。實(shí)際上，合理的計(jì)算方法是按圖2自0-90度取𝑎𝑥：𝑎𝑦的組合進(jìn)行計(jì)算，相當(dāng)于將單向水平地震波峰值取設(shè)防烈度對應(yīng)的值按旋轉(zhuǎn)90度進(jìn)行計(jì)算。這樣對于式(5)歐標(biāo)本沒有給出明確的𝑎𝑥取值就容易理解。
算例
三層框架支撐結(jié)構(gòu)
由于該結(jié)構(gòu)的支撐位置明顯偏置，所以樓層剛心和質(zhì)心存在偏心，因此在地震作用下，會產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)效應(yīng)。下文將通過地震時(shí)程分析，簡單分析不同地震角度下扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的差別。
假定地震波為余弦曲線(周期為0.4s，幅值為1m/s2)，如下圖：
考慮不同地震波方向，0度~360度，每隔15度為一個(gè)時(shí)程工況。
統(tǒng)計(jì)不同地震時(shí)程工況下的最大基底總扭矩，如下圖所示：
分析曲線，可得到如下結(jié)果：
（1）當(dāng)?shù)卣鸾嵌葹?度、90度、180度、270度、360度時(shí)(即整體坐標(biāo)為X軸或Y軸時(shí))，總扭矩為445kN*m
（2）當(dāng)?shù)卣鸾嵌葹?5度和225度時(shí)，總扭矩接近為0，因此，這種角度下，結(jié)構(gòu)對地震力的偏心可認(rèn)為零
（3）當(dāng)?shù)卣鸾嵌葹?35度和315度時(shí)，總扭矩為最大值，為635Kn*m
由此可見，對于非對稱結(jié)構(gòu)，不同角度的地震對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的總扭矩差別顯著。僅分析主方向的地震作用，可能會嚴(yán)重低估偏心導(dǎo)致的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)。
